函数 $f$ 针对所有正整数定义如下：

• $f(1)=1$
• $f(3)=3$
• $f(2n)=f(n)$
• $f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)$
• $f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)$

函数$S(n)$定义为$\sum _{i=1}^{n}f(i)$。

$S(8)=22$ 和 $S(100)=3604$。

找到$S(3^{37})$。请给出答案的最后 $9$ 数字。