数字序列游戏从写在一行上的 $N$ 个数字的序列 $S$ 开始。

两名玩家轮流轮流。各自回合的玩家必须选择并删除序列中剩余的第一个或最后一个数字。

玩家自己的分数是由该玩家所取得的所有数字的总和决定的。每个玩家都试图最大化自己的总和。

如果 $N=4$ 且 $S=\{1,2,10,3\}$，则每个玩家最大化自己的分数如下：

• 玩家 1：删除第一个数字 ($1$)
• 玩家 2：从剩余序列中删除最后一个数字 ($3$)
• 玩家 1：从剩余序列中删除最后一个数字 ($10$)
• 玩家 2：删除剩余的数字 ($2$)

玩家 1 的得分为 $1+10=11$。

如果两个玩家都遵循序列 $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_N\}$ 的最优策略，则令 $F(N)$ 为玩家 1 的得分，定义如下：

• $s_1=0$
• $s_{i+1}=(s_i^2+45)$ 模 $1000000007$

序列以 $S=\{0,45,2070,4284945,753524550,478107844,894218625,\dots \}$ 开头。

您将获得 $F(2)=45$、$F(4)=4284990$、$F(100)=26365463243$、$F({10}^4)=2495838522951$。

查找 $F({10}^8)$。