让我们考虑三种物质的混合物：A、B和C。混合物可以用其中A、B和C的量之比来描述，即$(a:b:c)$。例如，由比率 $(2:3:5)$ 描述的混合物包含 $20\mathrm{\%}$ A、$30\mathrm{\%}$ B 和 $50\mathrm{\%}$ C。

就这个问题而言，我们无法从混合物中分离出各个成分。但是，我们可以将不同数量的不同混合物组合成新比例的混合物。

例如，假设我们有三种比例为 $(3:0:2)$、$(3:6:11)$ 和 $(3:3:4)$ 的混合物。通过混合第一个 $10$ 单位、第二个 $20$ 单位和第三个 $30$ 单位，我们得到比例为 $(6:5:9)$ 的新混合物，因为：
$(10\cdot \frac{3}{5}$ + $20\cdot \frac{3}{20}+30\cdot \frac{3}{10}:10\cdot \frac{0}{5}+20\cdot \frac{6}{20}+30\cdot \frac{3}{10}:10\cdot \frac{2}{5}+20\cdot \frac{11}{20}+30\cdot \frac{4}{10})=(18:15:27)=(6:5:9)$

但是，对于相同的三种混合物，不可能形成比例 $(3:2:1)$，因为 B 的量始终小于 C 的量。

设 $n$ 为正整数。假设对于每个整数三元组 $(a,b,c)$ 且 $0\le a,b,c\le n$ 且 $gcd(a,b,c)=1$，我们得到一个比率为 $(a:b:c)$ 的混合。令 $M(n)$ 为所有此类混合物的集合。

例如，$M(2)$ 包含具有以下比例的 $19$ 混合物：

$$\begin{array}{rl}\{& (0:0:1),(0:1:0),(0:1:1),(0:1:2),(0:2:1),\\ & (1:0:0),(1:0:1),(1:0:2),(1:1:0),(1:1:1),\\ & (1:1:2),(1:2:0),(1:2:1),(1:2:2),(2:0:1),\\ & (2:1:0),(2:1:1),(2:1:2),(2:2:1)\}.\end{array}$$

设 $E(n)$ 为 $M(n)$ 的子集数量，它可以产生比例为 $(1:1:1)$ 的混合物，即 A、B 和 C 等份的混合物。
我们可以验证 $E(1)=103$、$E(2)=520447$、$E(10)mod{11}^8=82608406$ 和 $E(500)mod{11}^8=13801403$。
求 $E(10000000)mod{11}^8$。