我们将排列定义为重新排列元素$\{1,2,3,...,n\}$顺序的操作。 $n!$ 有这样的排列，其中一种排列使元素保持初始顺序。 对于 $n=3$，我们有 $3!=6$ 排列：

• $P_1=$ 保持初始订单
• $P_2=$ 交换第一个^st 和第二个^nd 元件
• $P_3=$ 交换第 1^st 和 3^rd 元件
• $P_4=$ 交换第二^nd 和第三^rd 元件
• $P_5=$ 向右旋转元素
• $P_6=$ 将元素向左旋转

如果我们选择这些排列之一，并重复应用相同排列，我们最终会恢复初始顺序。
对于排列 $P_i$，令 $f(P_i)$ 为通过重复应用排列 $P_i$ 恢复初始顺序所需的步数。
对于 $n=3$，我们得到：

• $f(P_1)=1$：$(1,2,3)\to (1,2,3)$
• $f(P_2)=2$：$(1,2,3)\to (2,1,3)\to (1,2,3)$
• $f(P_3)=2$：$(1,2,3)\to (3,2,1)\to (1,2,3)$
• $f(P_4)=2$：$(1,2,3)\to (1,3,2)\to (1,2,3)$
• $f(P_5)=3$：$(1,2,3)\to (3,1,2)\to (2,3,1)\to (1,2,3)$
• $f(P_6)=3$：$(1,2,3)\to (2,3,1)\to (3,1,2)\to (1,2,3)$

令 $g(n)$ 为 $f^2(P_i)$ 在长度为 $n$ 的所有排列 $P_i$ 上的平均值。
$g(3)=(1^2+2^2+2^2+2^2+3^2+3^2)/3!=31/6\approx 5.166666667\mathrm{e}0$
$g(5)=2081/120\approx 1.734166667\mathrm{e}1$
$g(20)=12422728886023769167301/2432902008176640000\approx 5.106136147\mathrm{e}3$

找到 $g(350)$ 并以四舍五入到 $10$ 有效数字的科学记数法写出答案，使用小写 e 分隔尾数和指数，如上面的示例所示。