算术导数定义为

• $p^{\prime }=1$ 对于任何质数 $p$
• 对于所有整数 $a,b$，$(ab{)}^{\prime }=a^{\prime }b+a{b}^{\prime }$（莱布尼兹规则）

例如，${20}^{\prime }=24$。

求 $\sum \mathbf{gcd}(k,k^{\prime })$ 等于 $1<k\le 5\times {10}^{15}$。

注：$\mathbf{gcd}(x,y)$表示$x$和$y$的最大公约数。