鲍勃非常熟悉著名的数学谜题/游戏"河内塔"，它由三个直立的杆和不同尺寸的圆盘组成，圆盘可以滑到任何杆上。游戏开始时，将一堆 $n$ 圆盘按大小降序放置在最左边的杆上。游戏的目标是将所有圆盘从最左边的杆移动到最右边的杆，并给出以下限制：

1. 一次只能移动一个磁盘。
2. 有效的移动包括从一堆中取出顶部的圆盘并将其放置到另一堆（或空棒）上。
3. 任何磁盘都不能放置在较小的磁盘之上。

转向此游戏的变体，考虑一个宽 $k$ 单位（方形瓷砖）的长房间，按升序标记为从 $1$ 到 $k$。三根棒子放置在$a$、$b$ 和$c$ 格子上，一堆$n$ 圆盘放置在$a$ 格子的棒子上。

鲍勃站在 $b$ 方格开始游戏。他的目标是通过将所有圆盘移动到 $c$ 方格的杆上来玩汉诺塔游戏。然而，鲍勃只有在与相关杆/叠堆位于同一格子上时才能拿起或放下圆盘。

不幸的是，鲍勃也喝醉了。在给定的移动中，鲍勃将以相同的概率向左跌倒一格或向右跌倒一格，除非鲍勃位于房间的任一端，在这种情况下，他只能朝一个方向移动。尽管鲍勃处于醉酒状态，但他仍然能够遵守游戏规则本身，以及选择何时拿起或放下磁盘。

以下动画描绘了 $n=3$、$k=7$、$a=2$、$b=4$ 和 $c=6$ 的示例游戏的侧视图：

设 $E(n,k,a,b,c)$ 为鲍勃在一次最佳游戏中移动的预期方块数。如果磁盘拾取器的数量最小化，游戏就会达到最佳状态。

有趣的是，结果始终是整数。例如，$E(2,5,1,3,5)=60$ 和 $E(3,20,4,9,17)=2358$。

求 $\sum _{1\le n\le 10000}E(n,{10}^n,3^n,6^n,9^n)$ 的最后九位数字。