爱丽丝正在玩一个游戏，其中有 $n$ 张牌，编号为 $1$ 到 $n$。

游戏由以下步骤的迭代组成。
(1) Alice 随机选择一张牌。
(2) Alice看不到上面的数字。相反，鲍勃（她的朋友之一）看到了这个数字，并告诉爱丽丝有多少个之前看到的数字比他现在看到的数字大。
(3) Alice可以结束或继续游戏。如果她决定结束，这个数字就成为她的分数。如果她决定继续，该牌就会从游戏中移除，并且她会返回到 (1)。如果没有牌了，她就被迫结束游戏。

如果 Alice 采用优化策略来最小化她的得分，则令 $F(n)$ 为 Alice 的预期得分。

例如，$F(3)=5/3$。在第一次迭代时，她应该继续游戏。在第二次迭代中，如果鲍勃说之前看到的数字比他现在看到的数字大，她应该结束游戏，否则她应该继续游戏。

我们还可以验证 $F(4)=15/8$ 和 $F(10)\approx 2.5579365079$。

找到$F({10}^6)$。将您的答案四舍五入至小数点后 $10$ 位。