相切圆 · 谜题库

圆 $A$ 和 $B$ 彼此相切，并在三个不同点处与线 $L$ 相切。
圆 $C$ 位于 $A$ 、 $B$ 和 $L$ 之间的空间内，并且与这三个圆相切。
设 $r_{A}$ 、 $r_{B}$ 和 $r_{C}$ 分别为 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的半径。

令 $S (n) = \sum r_{A} + r_{B} + r_{C}$ ，对于 $0 < r_{A} \leq r_{B} \leq n$ ，其中 $r_{A}$ 、 $r_{B}$ 和 $r_{C}$ 是整数。 $0 < r_{A} \leq r_{B} \leq 5$ 的唯一解是 $r_{A} = 4$ 、 $r_{B} = 4$ 和 $r_{C} = 1$ ，因此 $S (5) = 4 + 4 + 1 = 9$ 。您还获得 $S (100) = 3072$ 。

找到 $S (10^{9})$ 。

题解待补充

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