令 $S(k)$ 为具有以下属性的三个或更多不同正整数的总和：

• 没有值超过 $k$。
• 这些值形成几何级数。
• 总和已达到最大值。

$S(4)=4+2+1=7$
$S(10)=9+6+4=19$
$S(12)=12+6+3=21$
$S(1000)=1000+900+810+729=3439$

设 $T(n)=\sum _{k=4}^n(-1{)}^{k}S(k)$。
$T(1000)=2268$

查找 $T({10}^{17})$。