假设在矩形内随机选择两个点（均匀分布），就可以确定这两点之间距离的期望值。

例如，单位正方形中两个随机点之间的预期距离约为 $0.521405$，而边长为 $2$ 和 $3$ 的矩形中两个随机点之间的预期距离约为 $1.317067$。

现在，我们将尺寸为 $n$ 的空心方形薄片定义为边长为 $n\ge 3$ 的整数尺寸正方形，由 $n^2$ 单位正方形组成，其中原始正方形内由 $x\times y$ 单位正方形 ($1\le x,y\le n-2$) 组成的矩形已被删除。

对于$n=3$，只有一个空心方形薄片：

对于 $n=4$，您可以找到 $9$ 独特的空心方形薄片，允许形状以旋转或镜像形式重新出现：

令 $S(n)$ 为在尺寸为 $n$ 的每个可能的空心方形薄层中随机选择的两点之间的预期距离之和。这两个点必须位于删除内部矩形后留下的区域内，即上图中的灰色区域。

例如，$S(3)=1.6514$ 和 $S(4)=19.6564$，四舍五入到小数点后四位数。

查找 $S(40)$ 四舍五入到小数点后四位数字。