令 $A_n$ 为对于所有 $1\le i\le n$ 满足 $A_{n}mod{p}_i=i$ 的最小正整数，其中 $p_i$ 是 第 $i$ 个质数。
例如$A_2=5$，因为这是方程组的最小正解

• $A_{2}mod2=1$
• $A_{2}mod3=2$

$A_3$ 的方程组添加了另一个约束。即$A_3$是最小正解

• $A_{3}mod2=1$
• $A_{3}mod3=2$
• $A_{3}mod5=3$

因此 $A_3=23$。同样，$A_4=53$ 和 $A_5=1523$。

令 $S(n)$ 为除 $A$ 序列中至少一个元素的直到 $n$ 的所有质数之和。
例如，$S(50)=69=5+23+41$，因为 $5$ 除以 $A_2$，$23$ 除以 $A_3$，$41$ 除以 $A_{10}=5765999453$。 $50$ 以内的任何质数都不能整除 $A$ 中的元素。

查找 $S(300000)$。