无平方因子的高斯整数

高斯整数是一个数字 $z = a + b i$ ，其中 $a$ 、 $b$ 是整数， $i^{2} = - 1$ 。
高斯整数是复数的子集，整数是 $b = 0$ 的高斯整数的子集。

高斯整数单位是 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，即 $1, i, - 1, - i$ 之一。
让我们定义一个正确的高斯整数，其中 $a > 0$ 和 $b \geq 0$ 。

如果 $z_{3} = a_{3} + b_{3} i = z_{1} / z_{2}$ 是高斯整数，则高斯整数 $z_{1} = a_{1} + b_{1} i$ 可以被 $z_{2} = a_{2} + b_{2} i$ 整除。
$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{a_{1} + b_{1} i}{a_{2} + b_{2} i} = \frac{(a_{1} + b_{1} i) (a_{2} - b_{2} i)}{(a_{2} + b_{2} i) (a_{2} - b_{2} i)} = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} + \frac{a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} i = a_{3} + b_{3} i$
因此，如果 $\frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}$ 和 $\frac{a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}$ 是整数， $z_{1}$ 可以被 $z_{2}$ 整除。
例如， $2$ 可以被 $1 + i$ 整除，因为 $2 / (1 + i) = 1 - i$ 是高斯整数。

高斯质数是一个只能被一个单位、它本身或者它本身乘以一个单位整除的高斯整数。
例如， $1 + 2 i$ 是高斯质数，因为它只能被 $1$ 、 $i$ 、 $- 1$ 、 $- i$ 、 $1 + 2 i$ 、 $i (1 + 2 i) = i - 2$ 、 $- (1 + 2 i) = - 1 - 2 i$ 和 $- i (1 + 2 i) = 2 - i$ 整除。
$2$ 不是高斯质数，因为它可以被 $1 + i$ 整除。

高斯整数可以唯一分解为单位和真高斯质数的乘积。
例如 $2 = - i (1 + i)^{2}$ 和 $1 + 3 i = (1 + i) (2 + i)$ 。
如果一个高斯整数的质数分解不包含重复的真高斯质数，则该整数被称为无平方因子的。
所以 $2$ 在高斯整数上不是无平方因子的，但 $1 + 3 i$ 是。
根据定义，单位和高斯质数是无平方因子的。

令 $f (n)$ 为具有 $a^{2} + b^{2} \leq n$ 的真无平方高斯整数的计数。
例如 $f (10) = 7$ 因为 $1$ 、 $1 + i$ 、 $1 + 2 i$ 、 $1 + 3 i = (1 + i) (2 + i)$ 、 $2 + i$ 、 $3$ 和 $3 + i = - i (1 + i) (1 + 2 i)$ 是无平方因子的，而 $2 = - i (1 + i)^{2}$ 和 $2 + 2 i = - i (1 + i)^{3}$ 是不。
您将得到 $f (10^{2}) = 54$ 、 $f (10^{4}) = 5218$ 和 $f (10^{8}) = 52126906$ 。

求 $f (10^{14})$ 。

题解待补充

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