一家公司专门生产大型矩形金属板，从单位方形金属板开始。 焊接由一系列尺寸不断增大的机器人执行。 不幸的是，这些机器人的编程选项相当有限。 每个设备最多只能加工 $25$ 相同的金属矩形，它们可以沿着任一边缘焊接以产生更大的矩形。 唯一的可编程变量是要处理的矩形数量（最多包括 $25$），以及是否焊接长边或短边。

例如，第一个机器人可以通过编程将 $11$ 原始单元方形板焊接在一起，形成 $11\times 1$ 条带。接下来可以采用这些 $11\times 1$ 条带中的 $10$，并将它们焊接以制成更长的 $110\times 1$ 条带或 $11\times 10$ 矩形。许多（但不是全部）金属板的可能尺寸都可以通过这种方式构造。

一位老客户有一个特别不寻常的订单：成品必须有精确的面积，且长边不能比短边大超过$10\mathrm{\%}$。如果这些要求可以通过不止一种方式来满足，就两侧的精确尺寸而言，那么客户将要求生产所有变体。例如，如果订单需要面积为 $889200$ 的金属板，则可以生产三种最终尺寸：$900\times 988$、$912\times 975$ 和 $936\times 950$。 $889200$ 的目标区域是在机器人焊机的限制内可以以三种不同变体制造的最小区域。

令 $M(n)$ 为可在精确 $n$ 变体中制造的最小面积，且长边不大于 $10\mathrm{\%}$ 大于短边。因此$M(3)=889200$。

查找 $\sum _{n=2}^{100}M(n)$。