长度为 $2n-3$ 的线段被随机分割为整数长度的 $n$ 段 ($n\ge 3$)。在该分割给出的序列中，这些线段被用作凸 $n$ 多边形的连续边，以使其面积最大的方式形成。 分割初始线段的所有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-4}{n-1})$ 可能性均以相同的概率发生。

设 $E(n)$ 为通过此过程获得的面积的期望值。
例如，对于 $n=3$，长度为 $3$ 的线段唯一可能的分割会产生长度为 $1$ 的三个线段，从而形成面积为 $\frac{1}{4}\sqrt{3}$ 的等边三角形。因此 $E(3)=0.433013$，四舍五入到 $6$ 小数位。
对于$n=4$，你可以找到$4$个不同的可能分割，每个分割由三个长度为$1$的线段和一个长度为$2$的线段组成。所有这些分割都会得到面积为 $\frac{3}{4}\sqrt{3}$ 的相同最大四边形，因此 $E(4)=1.299038$，四舍五入到 $6$ 小数位。

设 $S(k)={\displaystyle \sum _{n=3}^{k}E(n)}$。
例如，$S(3)=0.433013$、$S(4)=1.732051$、$S(5)=4.604767$ 和 $S(10)=66.955511$，四舍五入至 $6$ 小数位。

求 $S(50)$，四舍五入到 $6$ 小数位。