汤姆已经构建了一个随机生成器，该生成器连接到一排 $n$ 个灯泡。每当随机发生器被激活时，每个 $n$ 灯都会以 $\frac{1}{2}$ 的概率打开，与其之前的状态或其他灯泡的状态无关。

在与他的朋友杰瑞讨论如何使用他的发电机时，他们发明了两种不同的游戏，他们称之为互惠游戏：
两款游戏均由 $n$ 回合组成。每回合开始时，在 $1$ 和 $n$ 之间（包括）随机选择一个数字 $k$，每个数字的概率为 $\frac{1}{n}$，而该回合可能获胜的机会是 $k$ 的倒数，即 $\frac{1}{k}$。

在游戏 A 中，汤姆每回合激活一次随机生成器。如果打开的灯的数量与之前选择的数字$k$相同，则杰瑞获胜并获得$\frac{1}{k}$，否则他在该回合中将一无所获。杰瑞玩完由 $n$ 轮组成的总游戏 A 后的预期胜利称为 $J_A(n)$。例如 $J_A(6)=0.39505208$，四舍五入到 $8$ 小数位。

对于游戏 B 中的每个回合，在随机选择 $k$ 后，Tom 不断重新激活他的随机发生器，直到恰好 $k$ 灯亮起。之后，杰瑞接管并重新激活随机发生器，直到他也生成了一个恰好打开 $k$ 灯的模式。如果此模式与 Tom 的最后一个模式相同，则 Jerry 获胜并获得 $\frac{1}{k}$，否则他将一无所获。杰瑞在由 $n$ 回合组成的总游戏 B 后的预期胜利称为 $J_B(n)$。例如 $J_B(6)=0.43333333$，四舍五入到 $8$ 小数位。

令 ${\displaystyle S(m)=\sum _{n=1}^m(J_A(n)+J_B(n))}$。例如 $S(6)=7.58932292$，四舍五入到 $8$ 小数位。

查找 $S(123456789)$，四舍五入到 $8$ 小数位。