亚当用他的生日蛋糕玩以下游戏。

他切下一块，形成 $60$ 度的圆形扇形，然后将其翻转过来，糖霜位于底部。
然后，他将蛋糕逆时针旋转 $60$ 度，切下相邻的 $60$ 度片并将其翻转过来。
他不断地重复这个动作，直到总共十二步之后，所有的糖霜都又回到了上面。

令人惊讶的是，即使切割角度是无理数，这也适用于任何尺寸：在有限数量的步骤后，所有糖衣都会回到顶部。

现在，Adam 尝试了一些不同的方法：他交替切割尺寸为 $x=\frac{360}{9}$ 度、$y=\frac{360}{10}$ 度和 $z=\frac{360}{\sqrt{11}}$ 度的碎片。他切下的第一块尺寸为 $x$，然后将其翻转。第二个尺寸为 $y$，他翻转了它。第三个尺寸为 $z$，他翻转了它。他按照 $x$、$y$ 和 $z$ 的顺序重复此操作，直到所有糖霜都回到顶部，并发现他需要完全翻转 $60$。

设 $F(a,b,c)$ 为尺寸为 $x=\frac{360}{a}$ 度、$y=\frac{360}{b}$ 度和 $z=\frac{360}{\sqrt{c}}$ 度的部件将所有糖霜重新置于顶部所需的最小翻转次数。
令 $G(n)=\sum _{9\le a<b<c\le n}F(a,b,c)$ 为整数 $a$、$b$ 和 $c$。

给您提供 $F(9,10,11)=60$、$F(10,14,16)=506$、$F(15,16,17)=785232$。
您还获得了 $G(11)=60$、$G(14)=58020$ 和 $G(17)=1269260$。

查找 $G(53)$。