山脉由一系列山脉组成，其坡度恰好为 ${45}^{\circ }$，高度由质数 $p_n$ 决定。第 $k$^th 座山的上坡高度为 $p_{2k-1}$，下坡高度为 $p_{2k}$。该范围的前几座山麓如下图所示。

丹增从最低处开始依次攀登每一座山。每到一座山峰的顶端，他都会回头看去，数着自己能看到多少座之前的山峰。在上面的例子中，第三座山的视线被画成红色，表明从这个角度他只能看到第二座山的山顶。同样，从 $9$^th 山上，他可以看到三座山峰，分别是 $5$^th、$7$^th 和 $8$^th 山。

令 $P(k)$ 为从第 $k$^th 座山向后可见的山峰数量。 因此 $P(3)=1$ 和 $P(9)=3$。
还有 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}P(k)=227}$。

求 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2500000}P(k)}$。