可以证明，二的平方根可以表示为一个无限连分数。

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\dots }}}$

通过展开前四次迭代，我们得到：

$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1.5$
$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\frac{7}{5}=1.4$
$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}=\frac{17}{12}=1.41666\dots$
$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}=\frac{41}{29}=1.41379\dots$

接下来三次的展开分别是 $\frac{99}{70}$、$\frac{239}{169}$ 和 $\frac{577}{408}$，但第八次展开 $\frac{1393}{985}$ 是第一个出现分子位数超过分母位数的例子。

在前一千次展开中，有多少个分数的分子位数多于分母位数？