$n$ 处于不同训练状态的跑步者希望参加比赛。根据跑步者（恒定）个人赛车速度 $v_k=\frac{k}{n}$，为每个人赋予不同的起始数字 $k$ $(1\le k\le n)$。
为了让较慢的跑步者有机会赢得比赛，在长度为 $1$ 的赛道内随机（均匀分布）选择 $n$ 个不同的起始位置，并且彼此独立。之后，距离目标最近的起始位置被分配给跑步者$1$，下一个最接近的起始位置被分配给跑步者$2$，以此类推，直到最后距离目标最远的起始位置被分配给跑步者$n$。比赛的获胜者是最先到达目标的跑步者。

有趣的是，获胜者的预期运行时间是 $\frac{1}{2}$，与跑步者的数量无关。此外，虽然可以证明所有跑步者的预期跑步时间都是相同的 $\frac{n}{n+1}$，但比赛仍然不公平，因为不同起始号码的获胜机会可能会有很大差异：

令 $P_{n,k}$ 为跑步者 $k$ 赢得与 $n$ 个跑步者的比赛的概率，$E_n=\sum _{k=1}^{n}k{P}_{n,k}$ 为该比赛中获胜者的预期起始号码。可以证明，例如， $P_{3,1}=\frac{4}{9}$、$P_{3,2}=\frac{2}{9}$、$P_{3,3}=\frac{1}{3}$ 和 $E_3=\frac{17}{9}$ 用于与 $3$ 参赛者的比赛。
已知 $E_4=2.21875$、$E_5=2.5104$ 和 $E_{10}=3.66021568$。

查找 $E_{1000000}$ 四舍五入到小数点后 $4$ 位数。