这是一个很平常的一天，一艘神秘的外星飞船不知从何而来。等了几个小时但没有收到任何回复后，我们决定派出一个团队进行调查，您也在其中。进入船只后，您会遇到一位友好的全息人物 Katharina，她向您解释了船只 Eulertopia 的用途。

她声称欧拉托邦几乎比时间本身还要古老。它的使命是利用令人难以置信的计算能力和大量时间的结合来发现生命、宇宙和一切的答案。因此，常驻清洁机器人 Leonhard 及其家务职责是用强大的计算矩阵构建的，当他在 1000 x 1000 平方的房间网格中漫步时，可以思考生命的意义。她接着解释说，房间是从左到右、逐行按顺序编号的。因此，举例来说，如果 Leonhard 在 5 x 5 的网格中徘徊，那么房间将按以下方式编号。

许多千年前，莱昂哈德向凯瑟琳娜报告说已经找到了答案，并且他愿意与任何被证明值得获得此类知识的生命形式分享。

凯瑟琳娜进一步解释说，莱昂哈德的设计师接到指示，要让他以相同的概率留在同一个房间或前往相邻的房间。然而，他们不清楚这是否意味着 (i) 留在房间内的概率与可用路线的数量均等，或者 (ii) 留在同一个房间的概率 (50%) 均等，然后将另外 50% 在可用路线的数量之间平分。

(i) 剩余概率与退出次数相关

(ii) 固定 50% 的剩余概率

记录显示他们决定掷硬币。正面意味着留下的概率与出口数量动态相关，而反面则意味着他们对 Leonhard 进行编程，使其保留在特定房间的固定概率为 50%。不幸的是，没有关于硬币结果的记录，因此，在没有进一步信息的情况下，我们需要假设任一选择被实施的概率相同。

Katharina 表示，确定经过一段难以想象的时间后，在 5 x 5 网格的正方形编号房间中找到他的概率约为 0.177976190476 [12 d.p.] 应该不会太有挑战性。

为了证明自己有资格拜访这位伟大的神谕者，您必须计算在他徘徊的 1000 x 1000 巢穴中的一个正方形编号房间中找到他的概率。
（将您的答案四舍五入到小数点后 12 位）