一个边长为整数$n\ge 3$的等边三角形被分成$n^2$个边长为1的等边三角形，如下图所示。
这些三角形的顶点构成一个具有 $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ 个格点的三角格子。

令 $H(n)$ 为通过连接其中 6 个点可以找到的所有正六边形的数量。

例如，$H(3)=1$、$H(6)=12$ 和 $H(20)=966$。

求 ${\displaystyle \sum _{n=3}^{12345}H(n)}$。