一副编号从 $1$ 到 $n$ 的牌被随机洗牌，以便每个排列的可能性相同。

将使用以下技术将卡片按升序排序：

1. 查看卡片的初始序列。 如果已经排序，则无需执行进一步操作。 否则，如果卡片的任何子序列恰好位于相对于彼此的正确位置（无间隙地升序），则通过将卡片连接在一起来固定这些子序列。 例如，对于最初顺序为 4123756 的 $7$ 卡，标记为 1、2 和 3 的卡将连接在一起，标记为 5 和 6 的卡也将连接在一起。

2. 通过将卡片扔到空中，卡片会被"洗牌"，但请注意，任何顺序正确的卡片仍会保持连接状态，因此它们的顺序会保持不变。 然后随机拾取卡片（或附加卡片束）。 您应该假设这种随机化是无偏见的，尽管事实上有些卡片是单一的，而其他卡片则分组在一起。

3. 重复步骤 1 和 2，直到卡片排序完毕。

令 $S(n)$ 为对纸牌进行排序所需的预期洗牌次数。由于在第一次洗牌之前检查顺序，$S(1)=0$。您将获得 $S(2)=1$ 和 $S(5)=4213/871$。

找到 $S(52)$，并将答案四舍五入到 $8$ 小数位。