Peter 在走廊里移动，走廊里有 $N+1$ 扇门，编号从 $0$ 到 $N$ 连续。所有门最初都是关闭的。 Peter 从 $0$ 门前开始，重复执行以下步骤：

• 首先，他从自己的位置走了正平方数的门。
• 然后，他又从新位置走了更多平方数的门。
• 他会切换他所面对的门（如果关闭则打开，如果打开则关闭）。
• 最终返回$0$门。

我们将这些步骤的任何序列称为一个动作。彼得永远不会执行完全相同的操作两次，并确保执行所有可能的操作，以免他通过最后一扇门。

令 $F(N)$ 为 Peter 执行完所有可能的操作后打开的门的数量。已知 $F(5)=1$、$F(100)=27$、$F(1000)=233$ 和 $F({10}^6)=112168$。

找到$F({10}^{12})$。