对于两个整数 $n,e>1$，我们将 $(n,e)$-MPS（镜像功率序列） 定义为整数 $(a_i{)}_{i\ge 0}$ 的无限序列，这样对于所有 $i\ge 0$，$a_{i+1}=min(a_i^e,n-a_i^e)$ 和 $a_i>1$。
此类序列的示例是由交替的 $2$ 和 $4$ 组成的两个 $(18,2)$-MPS 序列。

请注意，尽管这样的序列是由 $n,e$ 和 $a_0$ 唯一确定的，但对于大多数值来说，这样的序列并不存在。例如，$n<6$ 不存在 $(n,e)$-MPS。

将 $C(n)$ 定义为某些 $e$ 的 $(n,e)$-MPS 数量，并且 ${\displaystyle D(N)=\sum _{n=2}^{N}C(n)}$。
已知 $D(10)=2$、$D(100)=21$、$D(1000)=69$、$D({10}^6)=1303$ 和 $D({10}^{12})=1014800$。

查找 $D({10}^{18})$。