周长为 $c$ 厘米的圆 $C$ 内有一个周长为 $s$ 厘米的较小圆 $S$，该圆偏离中心。其他四个不同的圆，我们称之为"行星"，周长分别为 $p$、$p$、$q$、$q$ 厘米 ($p<q$)，它们内接在 $C$ 内但在 $S$ 之外，每个行星都与 $C$ 和 $S$ 相切。行星可以相互重叠，但 $S$ 和 $C$ 的边界在最近点处必须至少相距 1 厘米。

现在假设这些圆实际上是齿轮，其齿距完美啮合，齿距为 1 厘米。 $C$ 是内部有齿的内齿轮。我们要求$c$、$s$、$p$、$q$都是整数（因为它们是齿数），并且我们进一步规定任何齿轮必须至少有5个齿。

请注意，"完全啮合"是指当齿轮旋转时，它们的角速度之间的比率保持恒定，并且一个齿轮的齿与另一个齿轮的齿槽完全对齐，反之亦然。只有在特定的齿轮尺寸和位置下，$S$ 和 $C$ 才可能与所有行星完美啮合。并非所有齿轮都完全啮合的布置是无效的。

将 $g(c,s,p,q)$ 定义为给定 $c$、$s$、$p$、$q$ 值的此类齿轮布置的数量：事实证明，这是有限的，因为只有某些离散布置可能满足上述条件。例如，$g(16,5,5,6)=9$。

这是一种这样的安排：

设 $G(n)=\sum _{s+p+q\le n}g(s+p+q,s,p,q)$，其中总和仅包括 $p<q$、$p\ge 5$ 和 $s\ge 5$ 的情况，均为整数。已知 $G(16)=9$ 和 $G(20)=205$。

查找 $G(500)$。