考虑 ${\log }_2(8)$、${\log }_4(64)$ 和 ${\log }_3(27)$ 的值。这三个都等于 $3$。

通常，整数 $m,n\ge 2$ 上的函数 $f(m,n)={\log }_m(n)$ 具有以下属性
$f(m_1,n_1)=f(m_2,n_2)$ 如果

1. $m_1=a^e,n_1=a^f,m_2=b^e,n_2=b^f$ 对于某些整数 $a,b,e,f$ 或
2. $m_1=a^e,n_1=b^e,m_2=a^f,n_2=b^f$ 对于某些整数 $a,b,e,f$

我们在整数 $m,n\ge 2$ proto-logarithmic 上调用函数 $g(m,n)$ 如果

• $g(m_1,n_1)=g(m_2,n_2)$，如果可以找到任何满足1.或2.的整数$a,b,e,f$
• 和 $g(m_1,n_1)\ne g(m_2,n_2)$（如果找不到满足 1. 或 2. 的整数 $a,b,e,f$）。

令 $D(N)$ 为任何原对数函数 $g(m,n)$ 相对于 $2\le m,n\le N$ 获得的不同值的数量。
例如，$D(5)=13$、$D(10)=69$、$D(100)=9607$ 和 $D(10000)=99959605$。

找到 $D({10}^{18})$，并给出最后一个 $9$ 数字作为答案。

注意：根据四指数猜想，函数 ${\log }_m(n)$ 是原对数。
虽然该猜想总体上尚未得到证实，但 ${\log }_m(n)$ 可用于计算较小值的 $D(N)$ $N$。