考虑一根长度为 $L$ 毫米、直径为 20 毫米的水平无摩擦管。管子的东端是敞开的，而西端是密封的。该管子在指定的起始位置包含直径为 20 毫米的 $N$ 弹珠，每个弹珠最初以 $v$ 的共同速度向西或向东移动。

由于弹珠的运动方向相反，所以必然会发生一些碰撞。我们假设碰撞是完全弹性的，因此涉及的两个弹珠立即改变方向并继续以 $v$ 的速度远离碰撞地点。同样，如果最西边的大理石与管子的密封端相撞，它会立即改变方向并以 $v$ 的速度继续向东移动。另一方面，一旦弹珠到达未密封的东端，它就会离开管子，并且不会与剩余的弹珠发生进一步的相互作用。

为了获得起始位置和初始方向，我们使用伪随机序列 $r_j$ 定义：
$r_1=6563116$
$r_{j+1}=r_j^{2}mod32745673$
最西端的大理石最初定位时与管的密封端之间有 $(r_{1}mod1000)+1$ 毫米的间隙（从大理石表面的最西点开始测量）。然后，对于 $2\le j\le N$，从西边算起，$(j-1)$ 和 $j$ 弹珠之间的间隙（从它们最近的点开始测量）由 $(r_{j}mod1000)+1$ 毫米给出。 此外，如果是 $r_j\le 10000000$，则 $j$th 大理石最初会向东移动；如果是 $r_j>10000000$，则最初会向西移动。

例如，对于 $N=3$，序列指定的间隙为 117、432 和 173 毫米。因此，弹珠的中心距管子密封的西端分别为 127、579 和 772 毫米。最西边的大理石最初向东移动，而另外两个大理石最初向西移动。

在此设置下，使用 5 米管 ($L=5000$)，结果表明，中间（第二个）大理石在其中心到达管的最东端之前移动了 5519 毫米。

设 $d(L,N,j)$ 为 $j$ 弹珠在其中心到达管东端之前移动的距离（以毫米为单位）。所以$d(5000,3,2)=5519$。您还获得了 $d(10000,11,6)=11780$ 和 $d(100000,101,51)=114101$。

查找 $d(1000000000,1000001,500001)$。