两个朋友 $A$ 和 $B$ 都是国际象棋的忠实粉丝。他们都喜欢玩游戏，但每局游戏结束后，输掉游戏的玩家会想继续（以报复另一位玩家），而获胜的玩家则更愿意停下来（以取得高分）。

所以他们想出了一个计划。每场游戏结束后，他们都会以 $p$ 正面的概率（因此反面的概率 $1-p$）抛掷一枚（有偏差的）硬币。如果他们得到了尾巴，他们将继续下一场比赛。否则他们就结束比赛。此外，每场比赛结束后，球员都会记下谁在比赛中领先。

让$p_A$表示$A$赢得一场比赛的概率，$p_B$表示$B$赢得一场比赛的概率。因此，$1-p_A-p_B$ 是游戏以平局结束的概率。令 ${\mathbb{E}}_A(p_A,p_B,p)$ 表示 $A$ 在比赛中领先的预期次数。
例如，${\mathbb{E}}_A(0.25,0.25,0.5)\approx 0.585786$ 和 ${\mathbb{E}}_A(0.47,0.48,0.001)\approx 377.471736$，均四舍五入到小数点后六位。

令 ${\displaystyle H(n)=\sum _{k=3}^n{\mathbb{E}}_A(\frac{1}{\sqrt{k+3}},\frac{1}{\sqrt{k+3}}+\frac{1}{k^2},\frac{1}{k^3})}$
例如 $H(3)\approx 6.8345$，四舍五入到小数点后 4 位。

求 $H(50)$，四舍五入到小数点后 4 位。