一种细菌的成员有两种不同的类型：$\alpha$ 和$\beta$。单个细菌能够根据以下规则在不同类型之间繁殖和突变：

• 每一分钟，每个人都会同时经历某种转变。
• $\alpha$ 类型的每个个体 $A$ 将独立地执行以下操作之一（以相等的概率随机）：
  • 克隆自身，产生 $\alpha$ 类型的新细菌（与剩下的 $A$ 一起）
  • 分裂成 3 个 $\beta$ 类型的新细菌（取代 $A$）
• $\beta$ 类型的每个个体 $B$ 将独立地执行以下操作之一（以相等的概率随机）：
  • 产生 $\alpha$ 类型的新细菌（与剩下的 $B$ 一起）
  • 死

如果一个种群以 $\alpha$ 类型的单个细菌开始，那么可以证明，该种群最终灭绝的概率为 0.07243802，而该种群将永远存在的概率为 0.92756198。这些概率四舍五入到小数点后 8 位。

现在考虑另一种细菌，$S_{k,m}$（其中$k$和$m$是正整数），它出现在$k$不同类型${\alpha }_i$中，$0\le i<k$。管理该物种生命周期的规则涉及序列 $r_n$，定义如下：

• $r_0=306$
• $r_{n+1}=r_n^{2}mod10007$

每分钟，对于每个$i$，${\alpha }_i$类型的每个细菌$A$都会在$0\le j<m$范围内独立、均匀地随机选择一个整数$j$。然后它做什么取决于 $q=r_{im+j}mod5$:

• 如果 $q=0$，$A$ 就会死亡。
• 如果 $q=1$，$A$ 会克隆自身，从而产生 ${\alpha }_i$ 类型的新细菌（与剩下的 $A$ 一起）。
• 如果 $q=2$，$A$ 会发生变异，变为 ${\alpha }_{(2i)modk}$ 类型。
• 如果 $q=3$，$A$ 分裂成 3 个类型为 ${\alpha }_{(i^2+1)modk}$ 的新细菌（取代 $A$）。
• 如果 $q=4$，$A$ 会产生 ${\alpha }_{(i+1)modk}$ 类型的新细菌（与剩下的 $A$ 一起）。

事实上，我们的原始物种正是$S_{2,2}$，其中$\alpha ={\alpha }_0$ 和$\beta ={\alpha }_1$。

令 $P_{k,m}$ 为物种 $S_{k,m}$ 的种群，从 ${\alpha }_0$ 类型的单个细菌开始，最终灭绝的概率。所以 $P_{2,2}=0.07243802$。您还可以得到 $P_{4,3}=0.18554021$ 和 $P_{10,5}=0.53466253$，全部四舍五入到小数点后 8 位。

找到 $P_{500,10}$，并将答案四舍五入到小数点后 8 位。