我们将 $\mathcal{I}$ 运算符定义为函数 $$\mathcal{I}(x,y)=(1+x+y{)}^2+y-x$$ 和 $\mathcal{I}$ 表达式作为算术表达式，仅根据变量名称和 $\mathcal{I}$ 的应用构建。变量名可以由一个或多个字母组成。例如，三个表达式 $x$、$\mathcal{I}(x,y)$ 和 $\mathcal{I}(\mathcal{I}(x,ab),x)$ 都是 $\mathcal{I}$ 表达式。

对于两个 $\mathcal{I}$ 表达式 $e_1$ 和 $e_2$，使得方程 $e_1=e_2$ 有非负整数解，我们将 $e_1$ 和 $e_2$ 的最小联立值定义为 $e_1$ 和 $e_2$ 在该解上取的最小值。如果方程 $e_1=e_2$ 无非负整数解，我们将 $e_1$ 和 $e_2$ 的最小同时值定义为 $0$。例如，考虑以下三个 $\mathcal{I}$ 表达式： $$\begin{array}{l}A=\mathcal{I}(x,\mathcal{I}(z,t))\\ B=\mathcal{I}(\mathcal{I}(y,z),y)\\ C=\mathcal{I}(\mathcal{I}(x,z),y)\end{array}$$ $A$ 和 $B$ 的最小同时值是 $23$，在 $x=3,y=1,z=t=0$ 时获得。另一方面，$A=C$ 在非负整数中没有解，因此 $A$ 和 $C$ 的最小同时值是 $0$。 $\{A,B,C\}$ 中的 $\mathcal{I}$ 表达式组成的最少同时对的总和为 $26$。

查找文件I-expressions.txt中由不同表达式组成的所有$\mathcal{I}$-表达式对的最小同时值之和（$(e_1,e_2)$对和$(e_2,e_1)$被认为是相同的）。给出结果的最后九位数字作为答案。