考虑"追逐"游戏的以下变体。该游戏由坐在圆桌旁的 $n$ 名玩家之间使用两个骰子进行。它由 $n-1$ 轮组成，每轮结束时，一名玩家被淘汰，并且必须向彩池中支付一定金额。最后剩下的玩家是获胜者，并获得底池的全部内容。

在一轮开始时，每个骰子都会分配给随机选择的玩家。一轮由多轮组成。

在每个回合中，持有骰子的两名玩家均会掷骰子。如果玩家掷出 1 或 2，则骰子将传递给左边的邻居；如果玩家掷出 5 或 6，则骰子将传递给右侧的邻居；否则，玩家将骰子保留到下一回合。

当一名玩家在回合开始时拥有两个骰子时，该回合结束。此时该玩家将立即被淘汰，并必须支付 $s^2$，其中 $s$ 是本轮已完成的回合数。请注意，如果在一轮开始时两个骰子碰巧交给同一玩家，则不会完成任何回合，因此该玩家将被淘汰，而无需向底池支付任何钱。

令 $G(n)$ 为获胜者将收到的预期金额。例如，$G(5)$ 大约为 96.544，$G(50)$ 为 2.82491788e6，以科学记数法四舍五入到 9 位有效数字。

求 $G(500)$，用科学记数法四舍五入到 9 位有效数字给出答案。