考虑 $w\times h$ 网格。单元格要么打开，要么关闭。当选择一个单元格时，该单元格以及通过边缘连接到该单元格的所有单元格都会在开-关、关-开之间切换。请参阅图表，了解在所有单元格均亮起（白色）的网格中选择角单元格、边缘单元格或中心单元格的 3 种情况。

目标是让每个单元同时关闭。这对于所有起始状态都是不可能的。如果通过选择单元的过程可以实现目标，则状态是可解的。

设 $F(w,h)$ 为 $w\times h$ 网格的可解状态数。 给定 $F(1,2)=2$、$F(3,3)=512$、$F(4,4)=4096$ 和 $F(7,11)\equiv 270016253(\mathrm{mod}1000000007)$。

设 $f_1=f_2=1$ 和 $f_n=f_{n-1}+f_{n-2},n\ge 3$ 为斐波那契数列并定义 $$S(w,n)=\sum _{k=1}^{n}F(w,f_k)$$ 给定 $S(3,3)=32$、$S(4,5)=1052960$ 和 $S(5,7)\equiv 346547294(\mathrm{mod}1000000007)$。

查找 $S(199,199)$。以 $1000000007$ 为模给出你的答案。