图兰在他家外面的一个棚子里安装了电热水系统。电气系统使用两根串联的保险丝，一根在房屋内，一根在棚屋内。 （现在老式保险丝经常被可重复使用的迷你断路器取代，但图兰的系统仍然使用老式保险丝。） 为了使加热系统正常工作，两个保险丝都必须工作。

图兰有 $N$ 保险丝。他知道其中的 $m$ 正在工作，而其余的则被毁掉了。不过，他不知道哪些被炸了。所以他尝试不同的组合，直到供暖系统打开。
我们用 $T(N,m)$ 表示确保供暖系统开启所需的最小尝试次数。
$T(3,2)=3$ 和 $T(8,4)=7$。

令 $L(N)$ 为 $2\le m\le N$ 的所有 $T(N,m)$ 之和。
$L({10}^3)=3281346$。

求$L({10}^7)$。