具有长边 $a$ 和 $b$ 以及斜边 $c$ 的毕达哥拉斯三角形的特征在于众所周知的方程 $a^2+b^2=c^2$。然而，这也可以用不同的方式表述：
当内切于半径为 $r$ 的圆时，边长为 $a$、$b$ 和 $c$ 的三角形是毕达哥拉斯三角形，当且仅当 $a^2+b^2+c^2=8r^2$。

类似地，我们将边长为 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 且内接于半径为 $r$ 的圆的四边形 $ABCD$ 称为毕达哥拉斯四边形，如果 $a^2+b^2+c^2+d^2=8r^2$。
我们进一步将勾股四边形称为勾股晶格网格四边形，如果所有四个顶点都是距原点 $O$（恰好是外接圆的中心）距离 $r$ 相同的晶格网格点。

令 $f(r)$ 为外接圆半径为 $r$ 的不同勾股网格四边形的数量。例如 $f(1)=1$、$f(\sqrt{2})=1$、$f(\sqrt{5})=38$ 和 $f(5)=167$。
两个 $r=\sqrt{5}$ 的勾股网格四边形如下所示：

设${\displaystyle S(n)=\sum _{d\mid n}f(\sqrt{d})}$。例如， $S(325)=S(5^2\cdot 13)=f(1)+f(\sqrt{5})+f(5)+f(\sqrt{13})+f(\sqrt{65})+f(5\sqrt{13})=2370$ 和 $S(1105)=S(5\cdot 13\cdot 17)=5535$。

查找 $S(1411033124176203125)=S(5^6\cdot {13}^3\cdot {17}^2\cdot 29\cdot 37\cdot 41\cdot 53\cdot 61)$。