数字 $145$ 因其数字阶乘之和等于 $145$ 的特性而闻名： $$1!+4!+5!=1+24+120=145.$$

也许不太为人所知的是 $169$，因为它产生链接回 $169$ 的最长数字链；事实证明，这样的循环只存在三个：

$$\begin{array}{rl}& 169\to 363601\to 1454\to 169\\ & 871\to 45361\to 871\\ & 872\to 45362\to 872\end{array}$$

不难证明每个起始数字最终都会陷入循环。例如，

$$\begin{array}{rl}& 69\to 363600\to 1454\to 169\to 363601(\to 1454)\\ & 78\to 45360\to 871\to 45361(\to 871)\\ & 540\to 145(\to 145)\end{array}$$

从 $69$ 开始，会产生一个由 5 个非重复项组成的链，但起始数低于 100 万的最长非重复链是 60 个项。

有多少条起始数量低于 100 万的链恰好包含 60 个不重复项？