对称凸网格多边形是这样的多边形：

• 它的所有顶点都有整数坐标。
• 其所有内角均严格小于 ${180}^{\circ }$。
• 它具有水平和垂直对称性。

例如，左侧多边形是既不具有水平对称性又不具有垂直对称性的凸网格多边形，而右侧多边形是具有六个顶点的有效对称凸网格多边形：

定义$A(N)$，具有$N$个顶点的对称凸网格多边形的最小面积。

您将获得 $A(4)=1$、$A(8)=7$、$A(40)=1039$ 和 $A(100)=17473$。

找到 $A(1000)$。