颠倒是著名的毕达哥拉斯方程的修改： $$\begin{array}{r}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{13}{z^2}.\end{array}$$

如果 $gcd(x,y,z)=1$，则具有 $x,y$ 和 $z$ 正整数的该方程的解 $(x,y,z)$ 是原始解。

令 $S(N)$ 为原始颠倒解的 $x+y+z$ 之和，使得 $1\le x,y,z\le N$ 和 $x\le y$。
对于 $N=100$，原始解为 $(2,3,6)$ 和 $(5,90,18)$，因此 $S({10}^2)=124$。
可以检查$S({10}^3)=1470$和$S({10}^5)=2340084$。

找到 $S({10}^{16})$ 并给出最后的 $9$ 数字作为您的答案。