可以通过以下过程从任何正实数值 $\theta$ 生成非递减整数序列 $a_n$： $$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{b}_1& =\theta \\ b_n& =\lfloor b_{n-1}\rfloor (b_{n-1}-\lfloor b_{n-1}\rfloor +1)\mathrm{\forall }n\ge 2\\ a_n& =\lfloor b_n\rfloor \end{array}\end{array}$$ 其中 $\lfloor \cdot \rfloor$ 是下取整函数。

例如，$\theta =2.956938891377988...$ 生成斐波那契数列：$2,3,5,8,13,21,34,55,89,...$

正整数序列$a_n$的串联是一个实数，表示为$\tau$，通过连接小数点后的序列元素构成，从$a_1$开始：$a_1.a_2{a}_3{a}_4...$

例如，从 $\theta =2.956938891377988...$ 构造的斐波那契数列会产生串联 $\tau =2.3581321345589...$ 显然，$\tau \ne \theta$ 对应于 $\theta$ 的值。

找到 $\theta$ 中生成序列从 $a_1=2$ 开始且生成序列的串联等于原始值的唯一值：$\tau =\theta$。将您的答案四舍五入到小数点后 $24$ 位。