考虑为所有正整数 $k>0$ 定义的函数 $f(k)$。令 $S$ 为 $f$ 的前 $n$ 个值的总和。也就是说， $$S=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(n)=\sum _{k=1}^{n}f(k).$$

在这个问题中，我们使用随机性来近似这个总和。也就是说，我们选择一个随机的、均匀分布的 $m$ 正整数元组 $(X_1,X_2,X_3,\cdots ,X_m)$ ，使得 $0=X_0<X_1<X_2<\cdots <X_m\le n$ 并计算修改后的总和 $S^{\ast }$ 如下。 $$S^{\ast }=\sum _{i=1}^{m}f(X_i)(X_i-X_{i-1})$$

我们现在将该近似值的误差定义为 $\mathrm{\Delta }=S-S^{\ast }$。

令 $\mathbb{E}(\mathrm{\Delta }|f(k),n,m)$ 为给定函数 $f(k)$、总和中的项数 $n$ 以及随机样本长度 $m$ 的误差预期值。

例如，$\mathbb{E}(\mathrm{\Delta }|k,100,50)=2525/1326\approx 1.904223$ 和 $\mathbb{E}(\mathrm{\Delta }|\phi (k),{10}^4,{10}^2)\approx 5842.849907$，其中 $\phi (k)$ 是欧拉积分功能。

求 $\mathbb{E}(\mathrm{\Delta }|\phi (k),12345678,12345)$ 四舍五入到小数点后六位。