我们定义一个伪几何序列为正整数的有限序列$a_0,a_1,\dots ,a_n$，满足以下条件：

• $n\ge 4$，即序列至少有 $5$ 项。
• $0<a_0<a_1<\cdots <a_n$，即序列严格递增。
• $|a_i^2-a_{i-1}{a}_{i+1}|\le 2$ 换$1\le i\le n-1$。

令 $G(N)$ 为项不超过 $N$ 的不同伪几何序列的数量。
例如，$G(6)=4$，因为以下 $4$ 序列给出了完整列表：

$1,2,3,4,51,2,3,4,62,3,4,5,61,2,3,4,5,6$

另外，$G(10)=26$、$G(100)=4710$ 和 $G(1000)=496805$。

求$G({10}^{18})$。以 $1000000007$ 为模给出你的答案。