$n\times n$ 二进制矩阵的复杂度是不同行和列的数量。

例如，考虑 $3\times 3$ 矩阵 $$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$ $\mathbf{A}$ 的复杂度为 $2$，因为行和列的集合为 $\{000,101\}$。 $\mathbf{B}$ 的复杂度为 $3$，因为行和列的集合为 $\{000,001,111\}$。

对于 $0\le k\le n^2$，令 $c(n,k)$ 为 $n\times n$ 二元矩阵的最小复杂度，其中恰好有 $k$ 个。

让 $$C(n)=\sum _{k=0}^{n^2}c(n,k)$$ 例如，$C(2)=c(2,0)+c(2,1)+c(2,2)+c(2,3)+c(2,4)=1+2+2+2+1=8$。
您将获得 $C(5)=64$、$C(10)=274$ 和 $C(20)=1150$。

求$C({10}^4)$。