用 $\overline{x}=\frac{1}{k}\sum _i{x}_i$ 表示 $k$ 个数字 $x_1,...,x_k$ 的平均值。它们的方差定义为 $\frac{1}{k}\sum _i{(x_i-\overline{x})}^2$。

设 $S(n)$ 为满足 $1\le a\le b\le c\le d\le n$ 的所有整数四元组 $(a,b,c,d)$ 的总和，使得它们的平均值恰好是方差的两倍。

对于$n=5$，有$5$这样的四元组，即：$(1,1,1,3),(1,1,3,3),(1,2,3,4),(1,3,4,4),(2,2,3,5)$。

因此 $S(5)=48$。您还将获得 $S({10}^3)=37048340$。

找到$S({10}^8)$。以 $433494437$ 为模给出你的答案。