标准 $52$ 牌组包含 4 种花色的 13 个等级。然而，现代套牌有两张额外的小丑，既没有花色也没有等级，总共有 $54$ 卡。如果我们洗牌这样的牌组并抽牌而不更换，那么我们平均需要大约 $29.05361725$ 卡，以便每个等级至少有一张牌。

现在，假设您有 $10$ 这样的牌组，每个牌组都有不同的背面设计。我们将所有 $10\times 54$ 卡洗在一起并抽牌，无需更换。每种花色、等级和套牌设计至少需要一张牌，预计需要多少张牌？

将您的答案四舍五入到小数点后八位。