动态多项式

动态多项式是一个单调主系数为 $1$ 多项式 $f (x)$ ，其整数系数使得 $f (x)$ 除以 $f (x^{2} - 2)$ 。

例如， $f (x) = x^{2} - x - 2$ 是动态多项式，因为 $f (x^{2} - 2) = x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x^{2} + x - 2) f (x)$ 。

令 $S (n)$ 为 $n$ 次动态多项式的个数。
例如， $S (2) = 6$ ，因为有六个 $2$ 次动态多项式：

x^{2} - 4 x + 4, x^{2} - x - 2, x^{2} - 4, x^{2} - 1, x^{2} + x - 1, x^{2} + 2 x + 1

此外， $S (5) = 58$ 和 $S (20) = 122087$ 。

找到 $S (10 000)$ 。以 $998244353$ 为模给出你的答案。

题解待补充

这道题的题目已收录，解题思路、代码和答案将在后续补充。