$n$ 的分区是一组总和等于 $n$ 的正整数。
5的分区是：
$\{5\},\{1,4\},\{2,3\},\{1,1,3\},\{1,2,2\},\{1,1,1,2\}$ 和 $\{1,1,1,1,1\}$。

进一步我们将函数 $D(p)$ 定义为：
$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}D(1)& =1\\ D(p)& =1,\text{ for any prime }p\\ D(pq)& =D(p)q+pD(q),\text{ for any positive integers }p,q>1.\end{array}\end{array}$$

现在让 $\{a_1,a_2,\dots ,a_k\}$ 为 $n$ 的一个分区。
我们为这个特定分区分配值：
$$P=\prod _{j=1}^{k}D(a_j).$$

$G(n)$ 是 $n$ 的所有分区的 $P$ 之和。
我们可以验证 $G(10)=164$。

我们还定义： $$S(N)=\sum _{n=1}^{N}G(n).$$ 您得到 $S(10)=396$。
求 $S(5\times {10}^4)\mathrm{mod}999676999$。