两个玩家玩游戏。游戏开始时，每个玩家秘密选择一个整数；第一个玩家来自 $1,...,n$，第二个玩家来自 $1,...,m$。然后他们轮流轮流，从第一个玩家开始。轮到的玩家显示一组数字，另一位玩家告诉他们他们的秘密数字是否在该组数字中。正确猜出一组数字的玩家获胜，游戏结束。

假设两个玩家都发挥最佳，则令 $p(m,n)$ 为第一个玩家的获胜概率。例如 $p(1,n)=1$ 和 $p(m,1)=1/m$。

您还将获得 $p(7,5)\approx 0.51428571$。

找到 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{20}\sum _{j=0}^{20}p(7^i,5^j)}$ 并将答案四舍五入到小数点后 8 位。