这个游戏有一盒$N$非公平硬币和$N$公平硬币。公平硬币有 50% 落地正面的概率，而不公平硬币有 75% 落地正面的概率。

玩家一开始的得分为 0，在游戏过程中可能会变成负数。

在每一轮中，玩家从盒子中随机挑选一枚硬币并猜测其类型：公平或不公平。在猜测之前，他们可能会抛硬币任意多次；然而，每次抛掷都会从得分中减去 1。停止折腾并进行猜测的决定可以随时做出。猜对后，玩家的分数如果猜对则增加20分，如果猜错则减少50分。然后硬币类型就会显示给玩家，并且硬币会被丢弃。

$2N$ 轮后，盒子将变空，游戏结束。令 $S(N)$ 为玩家在游戏结束时的预期得分，假设他们以最佳方式发挥以最大化他们的预期得分。

您得到 $S(1)=20.558591$，四舍五入到小数点后 6 位数字。

找到$S(50)$。将您的答案四舍五入到小数点后 6 位。