两名玩家用一堆初始尺寸为 $n$ 的石子进行游戏。他们按照以下规则依次从堆中取出石子，这些规则取决于固定的实数 $r>0$：

• 在第一回合中，第一位玩家可以用 $1\le k<n$ 拿取 $k$ 子。
• 如果玩家在一个回合中拿走 $m$ 子，那么在下一回合中，对手可以用 $1\le k\le \lfloor r\cdot m\rfloor$ 拿走 $k$ 子。

谁不能做出合法的举动，谁就输了游戏。

令 $L(r)$ 为第二个玩家有获胜策略的初始桩尺寸 $n$ 的集合。例如，$L(0.5)=\{1\}$、$L(1)=\{1,2,4,8,16,\dots \}$、$L(2)=\{1,2,3,5,8,\dots \}$。

如果所有 $s<q<t$ 的 $L(s)$ 与 $L(t)$ 不同，则实数 $q>0$ 是转换值。
令 $T(i)$ 为第 $i$ 转换值。例如，$T(1)=1$、$T(2)=2$、$T(22)\approx 6.3043478261$。

查找 $T(123456)$ 并将答案四舍五入到小数点后的 $10$ 位数。