钻工正在钻取水。在每次迭代中，钻井人员选择深度 $d$（正实数），钻至该深度，然后检查是否发现水。如果是，则该过程终止。否则，将选择新的深度，并从附近新位置的地面开始新的钻孔。

钻探至深度 $d$ 正好需要 $d$ 小时。相关区域的地下水深度是恒定的，其分布是一个指数随机变量，期望值为$1$。换句话说，地下水比$d$更深的概率是$e^{-d}$。

假设采用最佳策略，求出找到水所需的最短预期钻孔时间（以小时为单位）。将您的答案四舍五入到小数点后 9 位。