$\{1,\dots ,n\}$ 的排列 $\pi$ 可以用单行符号表示为 $\pi (1),\dots ,\pi (n)$。如果所有 $n!$ 排列都按字典顺序写入，那么 $\text{rank}(\pi )$ 就是 $\pi$ 在这个从 1 开始的列表中的位置。

例如，$\text{rank}(2,1,3)=3$，因为 $\{1,2,3\}$ 按字典顺序的六种排列是： $$1,2,31,3,22,1,32,3,13,1,23,2,1$$

对于正整数 $m$，我们定义以下 $\{1,\dots ,n\}$ 的排列，其中 $n=\frac{m(m+1)}{2}$： $$\begin{array}{rl}\sigma (i)& =\{\begin{array}{ll}\frac{k(k-1)}{2}+1& \text{if }i=\frac{k(k+1)}{2}\text{ for }k\in \{1,\dots ,m\};\\ i+1& \text{otherwise};\end{array}\\ \tau (i)& =(({10}^9+7)imodn)+1\\ \pi (i)& ={\tau }^{-1}(\sigma (\tau (i)))\end{array}$$ 其中${\tau }^{-1}$是$\tau$的逆排列。

定义${\displaystyle P(m)=\sum _{k=1}^{m!}\text{rank}({\pi }^k)}$，其中${\pi }^k$是应用$\pi$ $k$次产生的排列。
例如，$P(2)=4$、$P(3)=780$ 和 $P(4)=38810300$。

求$P(100)$。以 $({10}^9+7)$ 为模给出你的答案。